Nota Fungsi Matematik SPM Tingkatan 4 | Lengkap KSSM — JomSkor
Nota ringkas Fungsi Matematik SPM Tingkatan 4 — domain, kodomain, julat, jenis pemetaan, fungsi gubahan (fg), dan fungsi songsang (f⁻¹). Contoh soalan & petua peperiksaan.
1. Apakah Itu Fungsi?
Fungsi ialah satu pemetaan khas yang menghubungkan setiap objek dalam domain kepada tepat satu imej dalam kodomain.
- Domain — set semua nilai input (x) yang dibenarkan
- Kodomain — set semua nilai output yang mungkin
- Julat — subset kodomain; nilai-nilai yang benar-benar dihasilkan
- Objek — nilai dalam domain (nilai x)
- Imej — nilai dalam kodomain yang sepadan (nilai y = f(x))
Petua Ingat: Julat ⊆ Kodomain. Julat tidak semestinya sama dengan kodomain — ia hanya bahagian yang "dicapai" oleh fungsi.
2. Jenis-Jenis Pemetaan
| Jenis Pemetaan | Penerangan | Fungsi? |
|---|---|---|
| Satu-ke-satu | Satu objek → satu imej; tiada dua objek berkongsi imej | ✓ Ya |
| Banyak-ke-satu | Dua atau lebih objek → satu imej yang sama | ✓ Ya |
| Satu-ke-banyak | Satu objek → dua atau lebih imej berbeza | ✗ Bukan |
| Banyak-ke-banyak | Campuran satu-ke-banyak | ✗ Bukan |
Cara uji pada graf: Gunakan ujian garis menegak — jika satu garis menegak memotong graf di lebih daripada satu titik, maka ia bukan fungsi.
3. Tatatanda Fungsi
Fungsi biasanya ditulis dalam bentuk:
f : x → 3x − 2(tatatanda anak panah)f(x) = 3x − 2(tatatanda fungsi)
Untuk mencari nilai fungsi pada titik tertentu: gantikan nilai x ke dalam ungkapan fungsi.
Contoh 1 — Mencari Imej
Diberi f(x) = 3x − 2. Cari f(4).
- f(x) = 3x − 2
- f(4) = 3(4) − 2 = 12 − 2 = 10
Contoh 2 — Mencari Objek
Diberi f(x) = 3x − 2 dan f(x) = 7. Cari x.
- 3x − 2 = 7
- 3x = 9
- x = 3
4. Fungsi Gubahan fg(x)
Fungsi gubahan ialah gabungan dua fungsi — g dilakukan dahulu, kemudian f.
Rumus: fg(x) = f[g(x)]
Peringatan: fg(x) ≠ gf(x) dalam kebanyakan kes. Susunan adalah penting!
Contoh 3 — Fungsi Gubahan
Diberi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² − 3. Cari fg(x) dan nilai fg(2).
- fg(x) = f[g(x)] = f(x² − 3)
- = 2(x² − 3) + 1
- = 2x² − 6 + 1
- = 2x² − 5
- fg(2) = 2(2)² − 5 = 8 − 5 = 3
5. Fungsi Songsang f⁻¹(x)
Fungsi songsang "menterbalikkan" operasi fungsi asal. Jika f memetakan x kepada y, maka f⁻¹ memetakan y kembali kepada x.
Syarat: Hanya fungsi satu-ke-satu mempunyai fungsi songsang.
Jalan Kerja Mencari f⁻¹(x):
- Tulis y = f(x)
- Buatkan x sebagai perkara yang hendah dicari (ungkapkan x dalam sebutan y)
- Tulis semula: f⁻¹(x) = ... (gantikan y dengan x)
Contoh 4 — Fungsi Songsang
Cari f⁻¹(x) jika f(x) = (2x + 3) / 5.
- y = (2x + 3) / 5
- 5y = 2x + 3
- 2x = 5y − 3
- x = (5y − 3) / 2
- ∴ f⁻¹(x) = (5x − 3) / 2
Contoh 5 — Gabungan Fungsi Songsang
Diberi f(x) = 3x − 1. Cari f⁻¹(8).
- Cari f⁻¹(x): y = 3x − 1 → x = (y + 1)/3 → f⁻¹(x) = (x + 1)/3
- f⁻¹(8) = (8 + 1)/3 = 9/3 = 3
6. Sifat-Sifat Penting
| Sifat | Pernyataan |
|---|---|
| ff⁻¹(x) | = x (fungsi identiti) |
| f⁻¹f(x) | = x (fungsi identiti) |
| (fg)⁻¹(x) | = g⁻¹f⁻¹(x) (urutan terbalik) |
| Domain f⁻¹ | = Julat f |
| Julat f⁻¹ | = Domain f |
7. Petua Peperiksaan SPM
Tip 1: Soalan fungsi SPM biasanya minta: (a) cari fg(x), (b) cari f⁻¹(x), atau (c) diberi fg(x) — cari f(x) atau g(x). Latih ketiga-tiga jenis ini.
Tip 2: Apabila mencari fungsi songsang, jangan lupa gantikan y dengan x di langkah akhir — kesilapan ini sangat biasa dalam peperiksaan.
Tip 3: Untuk soalan "diberi fg = h, cari f" — ungkapkan f dalam sebutan g⁻¹ dan h: f(x) = h[g⁻¹(x)].
Tip 4: Semak jawapan fungsi songsang dengan kaedah pengesahan: ff⁻¹(x) mestilah = x.
Soalan lazim
Apakah perbezaan antara domain, kodomain dan julat?
Domain ialah set semua nilai input (x) yang dibenarkan. Kodomain ialah set semua nilai output yang mungkin. Julat ialah subset kodomain — hanya nilai output yang benar-benar dihasilkan oleh fungsi tersebut.
Bagaimana nak cari fungsi songsang f⁻¹(x)?
Tulis y = f(x), kemudian buatkan x sebagai perkara yang hendah dicari (selesaikan x dalam sebutan y), dan akhirnya gantikan y dengan x. Contoh: f(x) = 2x + 1 → y = 2x + 1 → x = (y − 1)/2 → f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
Apakah syarat fungsi itu wujud?
Setiap objek (nilai dalam domain) mesti mempunyai tepat satu imej (nilai dalam kodomain). Jika satu objek mempunyai dua imej yang berbeza, ia bukan fungsi.
Bagaimana cara kira fg(x)?
fg(x) bermaksud f dilakukan selepas g. Gantikan dahulu x ke dalam g(x) untuk dapat satu nilai, kemudian gantikan nilai tersebut ke dalam f. Contoh: g(x) = x + 1, f(x) = 2x → fg(3) = f(g(3)) = f(4) = 8.
Adakah fg(x) sama dengan gf(x)?
Tidak semestinya sama. Susunan fungsi gubahan adalah penting — fg(x) dan gf(x) biasanya menghasilkan jawapan yang berbeza.