Nota Kebarangkalian SPM Tingkatan 4 | Peristiwa Bergabung KSSM — JomSkor
Nota ringkas Kebarangkalian Peristiwa Bergabung SPM Tingkatan 4 — peristiwa saling eksklusif, bersandar, tidak bersandar, diagram pokok dan grid. Contoh soalan & tips.
1. Konsep Asas Kebarangkalian
- Ruang sampel (S) — set semua kemungkinan hasil eksperimen
- Peristiwa (A) — subset ruang sampel
- Kebarangkalian: P(A) = n(A) / n(S)
- 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(S) = 1; P(∅) = 0
- Komplemen: P(A') = 1 − P(A)
2. Jenis-Jenis Peristiwa Bergabung
Peristiwa Saling Eksklusif
A dan B tidak boleh berlaku serentak: P(A ∩ B) = 0
Formula: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh: Keluarkan satu kad — "dapat kad merah" dan "dapat kad hitam" adalah saling eksklusif.
Peristiwa Tidak Saling Eksklusif (Boleh Berlaku Serentak)
Formula am: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Contoh: "Dapat nombor genap" dan "dapat nombor < 4" boleh berlaku serentak (nombor 2).
3. Peristiwa Tidak Bersandar
A dan B tidak bersandar apabila kejadian A tidak mempengaruhi kebarangkalian B.
Formula: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Contoh 1 — Tidak Bersandar
Sebuah dadu dilambung dan syiling dilambung sekali. Cari P(dapat 6 DAN kepala).
- P(dapat 6) = 1/6; P(kepala) = 1/2
- P(6 ∩ kepala) = 1/6 × 1/2 = 1/12
4. Peristiwa Bersandar
Kejadian peristiwa pertama mengubah ruang sampel untuk peristiwa kedua.
Formula: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
di mana P(B|A) = kebarangkalian B berlaku, diberi A telah berlaku.
Contoh 2 — Bersandar (tanpa gantikan)
Sebuah beg mengandungi 4 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil satu demi satu tanpa gantikan. Cari P(kedua-duanya merah).
- P(merah pertama) = 4/7
- P(merah kedua | merah pertama) = 3/6 = 1/2 [bola tinggal 6, merah tinggal 3]
- P(kedua-dua merah) = 4/7 × 1/2 = 2/7
5. Diagram Pokok
Diagram pokok amat berguna untuk kebarangkalian bersandar — terutama apabila dua atau lebih ujian dilakukan berturut-turut.
- Label setiap cabang dengan kebarangkaliannya
- Darab kebarangkalian sepanjang cabang → kebarangkalian laluan
- Tambah kebarangkalian semua laluan yang memenuhi syarat
- Semak: jumlah kebarangkalian semua cabang dari satu nod = 1
Contoh 3 — Diagram Pokok
Kotak mengandungi 3 bola merah (M) dan 2 bola biru (B). Dua bola diambil dengan gantikan. Cari P(sekurang-kurangnya 1 merah).
- P(M) = 3/5; P(B) = 2/5 (sama untuk cabutan kedua kerana gantikan)
- P(BB) = 2/5 × 2/5 = 4/25
- P(sekurang-kurangnya 1 M) = 1 − P(BB) = 1 − 4/25 = 21/25
6. Grid Kemungkinan
Grid (jadual 2D) berguna untuk menyenaraikan semua kemungkinan apabila dua eksperimen dijalankan (contoh: dua dadu).
Contoh 4 — Grid Dua Dadu
Dua dadu dilambung. Cari P(hasil tambah = 7).
- n(S) = 6 × 6 = 36
- Pasangan yang berjumlah 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6 pasangan
- P(jumlah = 7) = 6/36 = 1/6
7. Petua Peperiksaan SPM
Tip 1: Kenal pasti dahulu sama ada peristiwa bersandar atau tidak — ini menentukan formula yang digunakan. Kata kunci "tanpa gantikan" = bersandar; "dengan gantikan" = tidak bersandar.
Tip 2: Gunakan kaedah komplemen untuk "sekurang-kurangnya satu": P(sekurang-kurangnya 1 kejadian) = 1 − P(tiada kejadian). Ini jauh lebih cepat.
Tip 3: Dalam diagram pokok, semak bahawa setiap pasang cabang dari satu nod berjumlah 1. Jika tidak, ada kesilapan dalam kebarangkalian.
Soalan lazim
Apakah perbezaan antara peristiwa bersandar dan tidak bersandar?
Peristiwa tidak bersandar: kejadian peristiwa pertama tidak mempengaruhi kebarangkalian peristiwa kedua (contoh: lambung duit syiling dua kali). Peristiwa bersandar: kejadian peristiwa pertama mempengaruhi kebarangkalian peristiwa kedua (contoh: ambil bola tanpa gantikan).
Bilakah guna P(A ∪ B) = P(A) + P(B) tanpa tolak P(A ∩ B)?
Hanya apabila A dan B adalah saling eksklusif (tidak boleh berlaku serentak), maka P(A ∩ B) = 0. Jadi P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Untuk kes umum, mesti tolak P(A ∩ B).
Bagaimana cara gunakan diagram pokok untuk kebarangkalian?
Setiap cabang mewakili satu kemungkinan. Darabkan kebarangkalian sepanjang cabang untuk dapat kebarangkalian laluan tersebut. Tambahkan kebarangkalian semua laluan yang memenuhi syarat yang dikehendaki.
Apakah syarat untuk dua peristiwa tidak bersandar?
A dan B tidak bersandar jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Jika syarat ini dipenuhi, kejadian A tidak mempengaruhi B.