Nota Ketaksamaan Linear SPM Tingkatan 4 | Graf & Rantau KSSM — JomSkor
Nota ringkas Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah SPM Tingkatan 4 — lukis graf, kenal pasti rantau penyelesaian, titik optimum, dan pengaturcaraan linear.
1. Konsep Asas
Ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah adalah dalam bentuk:
ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c atau ax + by < c atau ax + by > c
- Garis sempadan — garis ax + by = c yang membahagi satah kepada dua rantau
- Rantau penyelesaian — rantau yang memenuhi ketaksamaan yang diberikan
- Titik ujian — titik yang digunakan untuk menentukan rantau penyelesaian (biasanya (0,0))
2. Langkah Melukis Graf Ketaksamaan
- Tukar ketaksamaan kepada persamaan: ax + by = c
- Cari pintasan-x (tetapkan y = 0) dan pintasan-y (tetapkan x = 0)
- Lukis garis: penuh untuk ≤ atau ≥; putus-putus untuk < atau >
- Uji titik (0,0): jika memenuhi ketaksamaan → lorek rantau yang mengandungi (0,0); jika tidak → lorek rantau sebelah lain
Contoh 1 — Lukis Rantau Penyelesaian
Lukiskan rantau penyelesaian bagi 2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0.
- Garis sempadan: 2x + y = 6 → pintasan-x: (3, 0); pintasan-y: (0, 6)
- Uji (0,0): 2(0) + 0 = 0 ≤ 6 ✓ → lorek bahagian yang mengandungi asal
- x ≥ 0: lorek kanan paksi-y
- y ≥ 0: lorek atas paksi-x
- Rantau penyelesaian = segitiga dengan bucu (0,0), (3,0), (0,6)
3. Sistem Ketaksamaan Linear
Apabila diberikan beberapa ketaksamaan, rantau penyelesaian ialah rantau yang memenuhi semua ketaksamaan serentak.
Strategi: Lukis setiap garis sempadan, lorek setiap rantau yang TIDAK memenuhi ketaksamaan (lorek luar). Rantau yang tidak dilorek adalah rantau penyelesaian bersama.
4. Pengaturcaraan Linear
Pengaturcaraan linear mencari nilai maksimum atau minimum bagi sesuatu fungsi objektif, tertakluk kepada sekatan (ketaksamaan).
Langkah Penyelesaian
- Kenal pasti pemboleh ubah (x dan y)
- Tulis semua sekatan sebagai ketaksamaan
- Lukis rantau penyelesaian
- Kenal pasti semua bucu (vertex) rantau penyelesaian
- Gantikan setiap koordinat bucu ke dalam fungsi objektif
- Bucu yang beri nilai tertinggi = maksimum; nilai terendah = minimum
Contoh 2 — Pengaturcaraan Linear
Sekatan: x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0. Cari nilai maksimum bagi P = 3x + 2y.
- Lukis rantau penyelesaian — bucu: (0,0), (6,0), (4,4), (0,8)
- Gantikan ke dalam P = 3x + 2y:
- (0,0): P = 0
- (6,0): P = 18
- (4,4): P = 12 + 8 = 20
- (0,8): P = 0 + 16 = 16
- Nilai maksimum P = 20 pada titik (4, 4)
5. Kaedah Garis Kontur (Isoprofit Line)
Alternatif kepada uji bucu: lukis garis P = k (fungsi objektif) dan gerakkan selari sehingga:
- Menyentuh bucu terakhir rantau (untuk maksimum)
- Menyentuh bucu pertama rantau (untuk minimum)
6. Petua Peperiksaan SPM
Tip 1: Lorekkan rantau yang TIDAK memenuhi (bukan rantau penyelesaian). Ini cara yang diterima dalam SPM — rantau bersih (tidak dilorek) adalah jawapan.
Tip 2: Untuk soalan pengaturcaraan linear, selalu uji semua bucu — jangan buat andaian bahawa bucu tertentu adalah optimum tanpa mengira.
Tip 3: Label setiap garis dengan persamaannya dan label rantau R — pemeriksa memerlukan label yang jelas.
Soalan lazim
Bagaimana cara tentukan sama ada rantau di atas atau di bawah garis sempadan?
Gunakan titik ujian — biasanya titik asal (0,0) jika ia tidak terletak pada garis sempadan. Gantikan koordinat titik ujian ke dalam ketaksamaan. Jika ketaksamaan dipenuhi, rantau yang mengandungi titik ujian adalah rantau penyelesaian.
Bilakah garis sempadan dilukis sebagai garis penuh vs garis putus-putus?
Garis penuh (—) apabila ketaksamaan menggunakan ≤ atau ≥ (titik pada garis termasuk). Garis putus-putus (- - -) apabila menggunakan < atau > (titik pada garis tidak termasuk).
Apakah titik optimum dalam pengaturcaraan linear?
Titik optimum ialah bucu (vertex) rantau penyelesaian yang memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsi objektif. Selalu uji semua bucu rantau untuk cari nilai optimum.