Nota Matriks Matematik SPM Tingkatan 5 | Determinan & Songsang KSSM — JomSkor
Nota ringkas Matriks SPM Tingkatan 5 — operasi matriks, determinan, matriks songsang 2×2, selesaikan persamaan serentak menggunakan matriks. Contoh soalan & tips.
1. Asas Matriks
- Matriks — susunan nombor dalam baris dan lajur dalam kurungan segi empat
- Tertib (m × n) — m baris dan n lajur
- Unsur aᵢⱼ — unsur di baris ke-i, lajur ke-j
- Matriks baris — tertib 1×n
- Matriks lajur — tertib n×1
- Matriks segi — bilangan baris = bilangan lajur
2. Operasi Matriks
Tambah dan Tolak
Hanya boleh dilakukan jika kedua-dua matriks mempunyai tertib yang sama. Tambah/tolak unsur yang sepadan.
Darab dengan Skalar
Darabkan setiap unsur dengan skalar tersebut: k[aᵢⱼ] = [kaᵢⱼ]
Darab Dua Matriks (AB)
A (m×n) × B (n×p) = C (m×p). Unsur cᵢⱼ = hasil tambah hasil darab unsur baris i A dengan lajur j B.
Contoh 1 — Pendaraban Matriks
A = [2 1 / 3 0], B = [1 4 / 2 −1]. Cari AB.
- c₁₁ = 2(1) + 1(2) = 4 c₁₂ = 2(4) + 1(−1) = 7
- c₂₁ = 3(1) + 0(2) = 3 c₂₂ = 3(4) + 0(−1) = 12
- AB = [4 7 / 3 12]
3. Determinan Matriks 2×2
Untuk matriks A = [a b / c d]:
det(A) = ad − bc
- Jika det(A) ≠ 0 → matriks tak tunggal (mempunyai songsang)
- Jika det(A) = 0 → matriks tunggal (tiada songsang)
4. Matriks Songsang (Invers)
Untuk matriks A = [a b / c d] dengan det(A) ≠ 0:
A⁻¹ = (1/det A) × [d −b / −c a]
Cara ingat: Tukar kedudukan a dan d (pepenjuru utama), kemudian ubah tanda b dan c. Bahagi keseluruhan dengan determinan.
Contoh 2 — Matriks Songsang
Cari A⁻¹ bagi A = [3 1 / 5 2].
- det(A) = 3(2) − 1(5) = 6 − 5 = 1
- A⁻¹ = (1/1) × [2 −1 / −5 3] = [2 −1 / −5 3]
- Semak: AA⁻¹ = I ✓
5. Selesaikan Persamaan Serentak Menggunakan Matriks
Sistem persamaan serentak ditulis sebagai AX = B, maka X = A⁻¹B.
Contoh 3 — Persamaan Serentak
Selesaikan: 2x + y = 7 dan 3x + 2y = 11.
- Bentuk matriks: [2 1 / 3 2][x / y] = [7 / 11]
- A = [2 1 / 3 2]; det A = 4 − 3 = 1
- A⁻¹ = [2 −1 / −3 2]
- [x / y] = [2 −1 / −3 2] × [7 / 11]
- x = 2(7) + (−1)(11) = 14 − 11 = 3
- y = (−3)(7) + 2(11) = −21 + 22 = 1
6. Sifat-Sifat Penting
| Sifat | Pernyataan |
|---|---|
| Komutatif | AB ≠ BA (umumnya) |
| Matriks Identiti | AI = IA = A |
| Invers Identiti | AA⁻¹ = A⁻¹A = I |
| Invers darab | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ |
| Transpose | (Aᵀ)ᵀ = A |
7. Petua Peperiksaan SPM
Tip 1: Untuk soalan persamaan serentak — tulis sistem dalam bentuk matriks AX = B dengan teliti. Kesilapan paling biasa: tersalih letak pekali atau pemalar dalam matriks.
Tip 2: Semak matriks songsang dengan mengira AA⁻¹ — hasilnya mestilah matriks identiti I. Langkah semak ini hanya ambil 1 minit tetapi mengelak kesilapan besar.
Tip 3: Jika soalan minta buktikan matriks tunggal — tunjukkan det(A) = ad − bc = 0 secara jelas.
Soalan lazim
Apakah syarat untuk matriks boleh didarab?
Matriks A (tertib m×n) boleh didarab dengan matriks B (tertib p×q) hanya jika n = p (bilangan lajur A sama dengan bilangan baris B). Hasil darab AB adalah matriks tertib m×q.
Bilakah matriks dikatakan matriks tunggal?
Matriks 2×2 adalah matriks tunggal apabila determinannya = 0 (iaitu ad − bc = 0). Matriks tunggal tidak mempunyai matriks songsang.
Bagaimana cara selesaikan persamaan serentak menggunakan matriks?
Tulis dalam bentuk AX = B, kemudian X = A⁻¹B. Cari A⁻¹ menggunakan formula songsang, kemudian darabkan dengan matriks B untuk dapat nilai x dan y.
Apakah matriks identiti dan sifatnya?
Matriks identiti (I) ialah matriks yang apabila didarabkan dengan mana-mana matriks A, menghasilkan A semula. Untuk 2×2: I = [[1,0],[0,1]]. Sifat: AI = IA = A.