Nota Persamaan Kuadratik SPM Tingkatan 4 | KSSM Lengkap — JomSkor
Nota ringkas Persamaan Kuadratik SPM Tingkatan 4 — kaedah pemfaktoran, penyempurnaan kuasa dua, rumus kuadratik, dan graf fungsi kuadratik. Contoh soalan & tips SPM.
1. Bentuk Am Persamaan Kuadratik
Persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah ditulis dalam bentuk:
ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0
- a — pekali x² (mestilah bukan sifar)
- b — pekali x
- c — pemalar
- Punca-punca — nilai x yang memenuhi persamaan (x = α atau x = β)
Langkah pertama sentiasa: Susun semua sebutan ke kiri — bentuk ax² + bx + c = 0 dengan sifar di sebelah kanan sebelum bermula sebarang kaedah penyelesaian.
2. Tiga Kaedah Penyelesaian
Kaedah 1 — Pemfaktoran
Cari dua nombor yang hasil tambahnya = b dan hasil darabnya = ac.
Contoh 1 — Pemfaktoran (a = 1)
Selesaikan x² − 5x + 6 = 0
- Cari dua nombor: hasil tambah = −5, hasil darab = 6 → (−2) dan (−3)
- Faktorkan: (x − 2)(x − 3) = 0
- x − 2 = 0 atau x − 3 = 0
- x = 2 atau x = 3
Contoh 2 — Pemfaktoran (a ≠ 1)
Selesaikan 2x² + 5x − 3 = 0
- ac = 2 × (−3) = −6; cari dua nombor: hasil tambah = 5, hasil darab = −6 → 6 dan −1
- 2x² + 6x − x − 3 = 0
- 2x(x + 3) − 1(x + 3) = 0
- (2x − 1)(x + 3) = 0
- x = ½ atau x = −3
Kaedah 2 — Penyempurnaan Kuasa Dua
Susun semula ke bentuk (x + p)² = q, kemudian cari punca kuasa dua.
Contoh 3 — Penyempurnaan Kuasa Dua
Selesaikan x² + 6x − 7 = 0
- x² + 6x = 7
- x² + 6x + 9 = 7 + 9 [tambah (6/2)² = 9 kedua-dua belah]
- (x + 3)² = 16
- x + 3 = ±4
- x = 1 atau x = −7
Kaedah 3 — Rumus Kuadratik
Gunakan rumus ini apabila kaedah lain sukar:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| Nilai b² − 4ac (Diskriminan) | Bilangan Punca Nyata |
|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Dua punca nyata berbeza |
| b² − 4ac = 0 | Dua punca nyata sama (punca berulang) |
| b² − 4ac < 0 | Tiada punca nyata |
Contoh 4 — Rumus Kuadratik
Selesaikan 2x² − 3x − 2 = 0 (beri jawapan dalam 2 tempat perpuluhan)
- a = 2, b = −3, c = −2
- x = (3 ± √(9 + 16)) / 4 = (3 ± √25) / 4 = (3 ± 5) / 4
- x = (3 + 5)/4 = 2 atau x = (3 − 5)/4 = −0.50
- x = 2.00 atau x = −0.50
3. Hubungan Punca-Punca dengan Pekali
Jika α dan β ialah punca-punca bagi ax² + bx + c = 0:
| Sifat | Formula |
|---|---|
| Hasil tambah punca | α + β = −b/a |
| Hasil darab punca | αβ = c/a |
| Bina persamaan baharu | x² − (α+β)x + αβ = 0 |
Contoh 5 — Bina Persamaan dari Punca-punca
Diberi α = 3 dan β = −5. Bina persamaan kuadratik.
- α + β = 3 + (−5) = −2
- αβ = 3 × (−5) = −15
- x² − (−2)x + (−15) = 0
- x² + 2x − 15 = 0
4. Graf Fungsi Kuadratik f(x) = ax² + bx + c
| Ciri | Formula / Cara Cari |
|---|---|
| Bentuk graf | a > 0: ∪ (minimum); a < 0: ∩ (maksimum) |
| Paksi simetri | x = −b / (2a) |
| Titik puncak (min/maks) | Gantikan x paksi simetri ke f(x) |
| Pintasan-y | Tetapkan x = 0 → y = c |
| Pintasan-x (punca) | Tetapkan f(x) = 0, selesaikan persamaan |
5. Petua Peperiksaan SPM
Tip 1: Pastikan persamaan dalam bentuk ax² + bx + c = 0 (sifar di kanan) sebelum memulakan sebarang kaedah. Kesilapan ini punca markah hilang paling kerap.
Tip 2: Soalan SPM sering minta jawapan "betul kepada 2 tempat perpuluhan" — ini petanda guna rumus kuadratik, bukan pemfaktoran.
Tip 3: Untuk soalan graf, lukis paksi simetri sebagai garis putus-putus. Graf simetri pada paksi ini — pemeriksa harapkan ini.
Tip 4: Semak punca-punca anda dengan gantikan semula ke persamaan asal — jika dua punca betul, nilai f(α) = f(β) = 0.
Soalan lazim
Bilakah perlu guna rumus kuadratik berbanding pemfaktoran?
Gunakan rumus kuadratik apabila persamaan tidak boleh difaktorkan dengan mudah, atau apabila punca-punca bukan nombor bulat. Pemfaktoran lebih cepat jika pekali-pekali kecil dan mudah diteka.
Apakah itu diskriminan dan apa maknanya?
Diskriminan ialah b² − 4ac dalam rumus kuadratik. Jika b² − 4ac > 0: dua punca nyata berbeza. Jika b² − 4ac = 0: dua punca nyata sama (punca berulang). Jika b² − 4ac < 0: tiada punca nyata.
Apakah perbezaan antara ungkapan kuadratik dan persamaan kuadratik?
Ungkapan kuadratik ialah ax² + bx + c (tiada tanda sama). Persamaan kuadratik ialah ax² + bx + c = 0 (ada tanda sama dengan sifar). Persamaan boleh diselesaikan untuk mendapatkan punca-punca.
Bagaimana cara cari paksi simetri dan titik puncak?
Paksi simetri: x = −b/(2a). Titik puncak (minimum jika a > 0, maksimum jika a < 0): gantikan nilai x paksi simetri ke dalam fungsi untuk dapat nilai y.
Apakah hubungan antara punca-punca dan pekali persamaan?
Jika α dan β ialah punca-punca bagi ax² + bx + c = 0: Hasil tambah punca = α + β = −b/a. Hasil darab punca = αβ = c/a. Ini berguna untuk bina persamaan baharu daripada punca-punca yang diberi.