Nota Serakan Data Tak Terkumpul SPM Tingkatan 4 | Statistik KSSM — JomSkor
Nota ringkas Serakan Data Tak Terkumpul SPM Tingkatan 4 — julat antara kuartil, varians, sisihan piawai, dan cara tafsir serakan data. Contoh soalan & tips SPM.
1. Ukuran Serakan — Gambaran Keseluruhan
Ukuran serakan menunjukkan sejauh mana data tersebar dari nilai pusat (min). Serakan besar = data tidak konsisten; serakan kecil = data konsisten.
| Ukuran | Simbol | Kelebihan |
|---|---|---|
| Julat | J = maks − min | Mudah kira, tapi terjejas oleh nilai ekstrem |
| Julat Antara Kuartil | IQR = Q₃ − Q₁ | Tidak terjejas nilai ekstrem |
| Varians | σ² | Mengambil kira semua nilai |
| Sisihan Piawai | σ | Unit sama dengan data, paling kerap digunakan |
2. Julat dan Kuartil
Julat = nilai maksimum − nilai minimum
Kuartil membahagi data yang tersusun kepada 4 bahagian sama:
- Q₁ — kuartil pertama (25% data di bawahnya)
- Q₂ — median (50% data di bawahnya)
- Q₃ — kuartil ketiga (75% data di bawahnya)
- IQR = Q₃ − Q₁ (julat antara kuartil)
Contoh 1 — Cari Kuartil
Data: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (9 nilai)
- Q₂ (median) = nilai ke-5 = 10
- Bahagian bawah: 3, 5, 7, 8 → Q₁ = (5+7)/2 = 6
- Bahagian atas: 12, 14, 16, 18 → Q₃ = (14+16)/2 = 15
- IQR = Q₃ − Q₁ = 15 − 6 = 9
3. Varians dan Sisihan Piawai
Formula varians bagi data tak terkumpul:
σ² = Σ(x − x̄)² / n = Σx² / n − x̄²
σ = √σ² (sisihan piawai)
Formula berguna: σ² = (Σx²/n) − (Σx/n)² — lebih mudah dikira tanpa perlu cari (x − x̄) satu per satu.
Contoh 2 — Kira Sisihan Piawai
Data: 4, 6, 8, 10, 12. Cari varians dan sisihan piawai.
- n = 5, Σx = 4+6+8+10+12 = 40, x̄ = 40/5 = 8
- Σx² = 16+36+64+100+144 = 360
- σ² = 360/5 − 8² = 72 − 64 = 8
- σ = √8 = 2.83 (2 t.p.)
Contoh 3 — Kesan Tambah Pemalar
Jika setiap nilai data ditambah pemalar k:
| Operasi pada Data | Kesan pada Min | Kesan pada Sisihan Piawai |
|---|---|---|
| Tambah k pada setiap nilai | Min baharu = x̄ + k | σ tidak berubah |
| Darab k pada setiap nilai | Min baharu = k × x̄ | σ baharu = k × σ |
4. Tafsiran Serakan
- Set data dengan σ lebih kecil = lebih konsisten / kurang tersebar
- Set data dengan σ lebih besar = kurang konsisten / lebih tersebar
- Dalam konteks ujian: σ kecil bermakna markah pelajar lebih seragam
5. Petua Peperiksaan SPM
Tip 1: Gunakan formula alternatif σ² = Σx²/n − x̄² untuk jimat masa. Kira Σx² dan Σx, bahagi dengan n, kemudian tolak kuasa dua min.
Tip 2: Soalan kerap tanya "set data mana lebih konsisten?" — jawab dengan bandingkan sisihan piawai. Yang lebih kecil = lebih konsisten.
Tip 3: Jika soalan beri min dan Σx², terus guna formula σ² = Σx²/n − x̄². Tak perlu cari setiap (x − x̄)².
Soalan lazim
Apakah perbezaan antara varians dan sisihan piawai?
Varians (σ²) adalah purata kuasa dua sisihan dari min. Sisihan piawai (σ) adalah punca kuasa dua varians. Sisihan piawai lebih mudah ditafsir kerana ia dalam unit yang sama dengan data asal.
Bilakah guna julat antara kuartil berbanding sisihan piawai?
Julat antara kuartil (IQR = Q₃ − Q₁) lebih sesuai apabila data mempunyai nilai ekstrem (outliers) kerana ia tidak terjejas oleh nilai yang terlalu besar atau kecil. Sisihan piawai lebih sesuai apabila data tertabur secara normal.
Apakah maksud serakan yang besar vs kecil?
Serakan besar (sisihan piawai besar) bermakna data tersebar jauh dari min — tidak konsisten. Serakan kecil bermakna data berkelompok dekat dengan min — lebih konsisten/stabil.
Bagaimana cara cari kuartil bagi data tersusun?
Susun data dalam urutan menaik. Q₂ (median) = nilai tengah. Q₁ = median bahagian bawah (separuh data di bawah Q₂). Q₃ = median bahagian atas (separuh data di atas Q₂).