Nota Graf Trigonometri Matematik SPM Tingkatan 5 | KSSM — JomSkor
Nota ringkas Graf Fungsi Trigonometri SPM Tingkatan 5 — sifat graf sin, cos, tan, amplitud, tempoh, fasa, dan penyelesaian persamaan trigonometri. Contoh soalan & tips.
1. Nisbah Trigonometri Asas (Ulangkaji)
| Nisbah | Takrifan (segi tiga) | Sukuan I | Sukuan II | Sukuan III | Sukuan IV |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | bertentangan / hipotenus | + | + | − | − |
| cos θ | bersebelahan / hipotenus | + | − | − | + |
| tan θ | bertentangan / bersebelahan | + | − | + | − |
Cara ingat tanda: "Add Sugar To Coffee" — Semua (I), Sin (II), Tan (III), Cos (IV) adalah positif mengikut sukuan.
2. Graf y = a sin bx dan y = a cos bx
| Ciri | Formula | Contoh: y = 3 sin 2x |
|---|---|---|
| Amplitud | |a| | 3 |
| Tempoh | 360° / b | 180° |
| Nilai maksimum | a | 3 |
| Nilai minimum | −a | −3 |
| Pintasan-x (sin) | 0°, 180°/b, 360°/b, ... | 0°, 90°, 180° |
3. Graf y = a tan bx
- Tiada amplitud — nilai tak terbatas
- Tempoh = 180° / b
- Garis pelastis menegak di mana cos bx = 0
- Memotong paksi-x di titik yang sama dengan sin bx = 0
4. Ciri-Ciri Graf sin, cos, tan
| Ciri | y = sin x | y = cos x | y = tan x |
|---|---|---|---|
| Tempoh | 360° | 360° | 180° |
| Amplitud | 1 | 1 | Tiada |
| Nilai maks | 1 | 1 | ∞ |
| Nilai min | −1 | −1 | −∞ |
| Pintasan-y | (0°, 0) | (0°, 1) | (0°, 0) |
| Garis pelastis | Tiada | Tiada | x = 90°, 270°, ... |
5. Selesaikan Persamaan Trigonometri
Langkah Am
- Cari sudut asas (acute angle): θ₀ = arcsin/arccos/arctan(nilai)
- Tentukan sukuan yang sesuai berdasarkan tanda nilai
- Tulis semua penyelesaian dalam julat yang diberi
Contoh 1 — sin x = −0.5, 0° ≤ x ≤ 360°
- Sudut asas = arcsin(0.5) = 30°
- sin negatif → sukuan III dan IV
- x = 180° + 30° = 210° atau x = 360° − 30° = 330°
- x = 210° atau x = 330°
Contoh 2 — 2 cos x = 1, 0° ≤ x ≤ 360°
- cos x = 1/2
- Sudut asas = arccos(0.5) = 60°
- cos positif → sukuan I dan IV
- x = 60° atau x = 360° − 60° = 300°
- x = 60° atau x = 300°
6. Transformasi Graf Trigonometri
| Fungsi | Kesan berbanding y = sin x |
|---|---|
| y = a sin x | Amplitud berubah kepada |a| |
| y = sin bx | Tempoh berubah kepada 360°/b |
| y = sin x + c | Graf dianjak c unit menegak |
| y = −sin x | Graf dipantulkan pada paksi-x |
7. Petua Peperiksaan SPM
Tip 1: Untuk soalan lakaran — label jelas paksi, titik maksimum/minimum, pintasan-x, dan satu tempoh penuh. Pemeriksa menilai semua label ini.
Tip 2: Ingat: sudut asas sentiasa positif (acute). Kemudian gunakan simetri sukuan untuk cari semua penyelesaian dalam julat yang diberi.
Tip 3: Untuk soalan "cari bilangan penyelesaian" — lukis graf dan garis y = k, kemudian kira bilangan persilangan dalam julat tersebut.
Soalan lazim
Apakah amplitud dan tempoh dalam fungsi trigonometri?
Amplitud ialah jarak maksimum dari paksi-x ke puncak (atau lembah) graf — bersamaan |a| dalam y = a sin bx. Tempoh ialah jarak mendatar untuk satu kitaran penuh — bersamaan 360°/b untuk fungsi sin dan cos, atau 180°/b untuk tan.
Bagaimana cara lakarkan y = 2 sin 3x?
Amplitud = 2 (puncak di y=2, lembah di y=−2). Tempoh = 360°/3 = 120°. Lukis satu kitaran penuh dalam 120°, dengan amplitud ±2, kemudian ulangi.
Mengapa graf tan berbeza dari sin dan cos?
Graf tan tidak mempunyai amplitud (boleh mencapai ±∞). Ia mempunyai garis pelastis menegak (asymptote) di mana cos x = 0 (x = 90°, 270°, dll.). Tempoh tan adalah 180°.
Bagaimana cara selesaikan persamaan trigonometri seperti sin x = 0.5?
Cari sudut asas: x = arcsin(0.5) = 30°. Kemudian gunakan simetri: untuk sin positif (sukuan I dan II), x = 30° atau x = 180° − 30° = 150°. Tambah 360° untuk setiap kitaran tambahan dalam julat yang diberi.